謹んで新春のおよろこびを申し上げます。
昨年中は格別のお引き立てを賜りましたこと、厚く御礼を申し上げます。

「あけましておめでとうございます」を使うのは、一般的に「松の内」が終わるまでとされています。
松の内とは、氏神様が迷うことなく家に来ることが出来るよう家の門に目印となる門松を飾ることからそう呼ばれています。
江戸時代初期は松の内は1月15日までとされていましたが、現在では関東を中心に1月7日までとするのが一般的です。
関西など1月15日までを松の内とする地域もあります。

松の内が終わると門松など正月飾りは片づけるものとされており、新年の挨拶もこれを目安とします。
ただし、松の内を過ぎたからといって新年の挨拶をしてはいけないわけではないので、
職場やその場の雰囲気によって臨機応変に対応しましょう。

松の内を少し過ぎた時期なら「あけましておめでとうございます」の挨拶でも差しさわりのない範囲ですが、
1月も中旬を過ぎてしまうと間延びした印象があります。
とはいえ、1月中旬以降に新年初めて会う人もいると思います。
その場合は「今年もよろしくお願いします」と伝えれば問題ありません。

より丁寧にしたい場合には、
「新年のご挨拶が遅れました。今年もよろしくお願いいたします」
「お正月にご挨拶ができませんでした。遅ればせながら、今年もよろしくお願いいたします」
などの言い回しなら自然です。

新年に初めて話をするのが、対面ではなくLINEやメールでということもあるでしょう。
バイトのシフト調整や連絡にLINEやメールを使っているケースもあるかもしれません。
その場合も、「あけましておめでとうございます」を使える期間は対面と同様です。

LINEやメールでも対面でも、新年の挨拶「あけましておめでとうございます」は
松の内（1月7日、地域によっては1月15日が目安）までと覚えておくとわかりやすいでしょう。
正月明けのバイトでは新年の挨拶をきちんと済ませ、新しい年を気持ちよく迎えましょう。